26.4.3回顾与思考(三)（全文）
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课题 ：
第三课时
回顾与思考(三) 【教学目 标】：
1． 使学生掌握二次函数模型的建立， 并能运用二次函数的知识解决实际问题。
2． 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系， 获得用数学方法解决实际问题的经验， 感受数学模型、 思想在实际问题中的应用价值。
【重点难点】：
重点：
利用二次函数的知识解决实际问题， 并对解决问题的策略进行反思。
难点：
将实际问题转化为函数问题， 并利用函数的性质进行决策。
【教学过程】：
复习 过程 一、 例题精析， 引导学法， 指导建模
1． 何时获得最大利润问题。
例：
重庆市某区地理环境偏僻， 严重制约经济发展， 丰富的花木产品只能在本地销
售，区政府对该花木产品每投资 x 万元， 所获利润为 P=－150 (x－30)2＋10 万元， 为了响应我国西部大开发的宏伟决策， 区政府在制定经济发展的 10 年规划时， 拟开发此花木产品， 而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多 50 万元， 若开发该产品， 在前 5 年中， 必须每年从专项资金中拿出 25 万元投资修通一条公路， 且 5 年修通， 公路修通后， 花木产品除在本地销售外， 还可运往外地销售， 运往外地销售的花木产品， 每投资 x 万元可获利润 Q=－4950(50－x)2＋1945 (50－x)＋308 万元。
(1)若不进行开发， 求 10 年所获利润最大值是多少?
(2)若按此规划开发， 求 10 年所获利润的最大值是多少?
(3)根据(1)、 (2)计算的结果， 请你用一句话谈谈你的想法。
学生活动：
投影给出题目后， 让学生先自主分析， 小组进行讨论。
教师活动：
在学生分析、 讨论过程中， 对学生进行学法引导， 引导学生先了解二次函数的基本性质， 并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型， 借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。
教师精析：
(1)若不开发此产品， 按原来的投资方式， 由 P=－150 (x－30)2＋10 知道， 只需从 50 万元专款中拿出 30万元投资， 每年即可获最大利润 10万元， 则 10年的最大利润为 M1＝10×10=100万元。
(2)若对该产品开发， 在前 5 年中， 当 x=25 时， 每年最大利润是：
P＝－150 (25－30)2＋10=9.5(万元)
则前 5 年的最大利润为 M2=9.5×5=47.5 万元
设后 5 年中 x 万元就是用于本地销售的投资。
则由 Q＝－495(50－x)＋308 知， 将余下的(50－x 万元全部用于外地销售的50 (50－x)＋194
投资． 才有可能获得最大利润；
则后 5 年的利润是：
M3＝[－1
＝－5(x－20)2＋3500
故当 x＝20 时， M3 取得最大值为 3500 万元。
∴
10 年的最大利润为 M＝M2＋M3＝3547.5 万元
(3)因为 3547.5＞100， 所以该项目有极大的开发价值。
强化练习：
某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产品， 规定试销时的销售单价不低于成本单价， 又不高于 800 元/件， 经试销调查， 发现销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)可近似看做—次函数 y＝kx＋b 的关系， 如图所示。
50(x－30)2＋10]×5＋(－4950x2＋1945x＋308)×5
(1)根据图象， 求一次函数 y＝kx＋b 的表达式，
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为 S 元， ①试用销售单价 x 表示毛利润 S； ②试问销售单价定为多少时， 该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?
分析：
(1)由图象知直线 y＝kx＋b 过(600， 400)、 (700， 300)两点， 代入可求解析式 为 y＝－x＋1000
(2)由毛利润 S＝销售总价－成本总价， 可得 S 与 x 的关系式。
S＝xy－500y＝x·(－x＋1000)－500(－x＋100)
＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500
(500＜x＜800)
所以， 当销售定价定为 750 元时， 获最大利润为 62500 元。
此时， y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250,即此时销售量为 250 件。
2． 最大面积是多少问题。
例：
某广告公司设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌， 广告设计费为每平方米 1000 元， 设矩形的边长为 x， 面积为 S 平方米。
(1)求出 S 与 x 之间的函数关系式；
(2)请你设计一个方案， 使获得的设计费最多， 并求出这个设计费用；
(3)为了 使广告牌美观、 大方， 要求做成黄金矩形， 请你按要求设计， 并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)
(参与资料：
①当矩形的长是宽与(长＋宽)的比例中项时， 这样的矩形叫做黄金矩形， ② 5≈2.236)
学生活动：
让学生根据已有的经验， 根据实际几何问题中的数量关系， 建立恰当的二次函数模型， 并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。
教师精析：
(1)由矩形面积公式易得出 S＝x· (6－x)＝－x2＋6x
(2)确定所建立的二次函数的最大值， 从而可得相应广告费的最大值。
由 S＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9， 知当 x＝3 时， 即此矩形为边长为 3 的正方形时， 矩形面积最大， 为 9m2， 因而相应的广告费也最多：
为 9×1000＝9000 元。
(3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积， 从而得到广告费用的大小。
设设计的黄金矩形的长为 x 米， 则宽为(6－x)米。
则有 x2＝6· (6－x)
解得 x1＝－3－3 5 (不合题意， 舍去)， x2＝－3＋3 5。
即设计的矩形的长为(3 5， 3)米， 宽为(9－3 5)米时， 矩形为黄金矩形。
此时广告费用约为：
1000(3 5－3)(9－3 5)≈8498(元) 二、 课堂小结
让学生谈谈． 通过本节课的学习， 有哪些体验， 如何将实际问题转化为二次函数问题， 从而利用二次函数的性质解决最大利润问题， 最大面积问题。
三、 作业
P28， 复习题 C 组 13～15 题。
课后反思：
二次函数的应用综合体现了二次函数性质的应用， 同时， 这类综合题与其他学过的知识有着密切的联系， 最大利润问题， 最大面积问题是实际生活中常见的问题， 综合性强， 解题的关键在于如何建立恰当的二次函数模型， 建立正确的函数关系式， 这一点应让学生有深刻的体会。
第三课时作业优化设计
1． 某公司生产的 A 种产品， 它的成本是 2 元， 售价为 3 元， 年销售量为 100 万件， 为了获得更好的效益， 公司准备拿出一定的资金做广告， 根据经验， 每年投入的广告费是 x(十万元) 时， 产品的年销售量将是原销售量的 y 倍， 且 y＝－110x2＋35x＋1， 如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。
(1) 试写出年利润 S(十万元) 与广告费 x(十万元) 的函数关系式．
(2) 如果投入广告费为 10～30 万元， 问广告费在什么范围内， 公司获得的年利润随广告费的增大而增次?
(3) 在(2) 中， 投入的广告费为多少万元时， 公司获得的年利润最大?是多少?
2． 如图， 有长为 24 米的篱笆， 围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃， 且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可使用长度 a＝10 米) 。
(1) 如果所围成的花圃的面积为 45 平方米， 试求宽 AB 的长；
(2) 按题目的设计要求， 能围成面积比 45 平方米更大的花圃吗?如果能， 请求出最大面积，并说明围法， 如果不能请说明理由．
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